线性代数 - 换基操作
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换基操作是指将坐标系换到另外一组基向量表示的坐标系中。主要目的是为了简化计算（类似有时把笛卡尔坐标系变换到极坐标系可以大大简化某些计算）
之前我们讨论了向量在不同坐标系下的换基操作。但是针对某个矩阵呢
一般我们把一个矩阵理解为空间的线性变换，那么在某个坐标系下的空间变换，在另一个坐标系下看起来是什么样子呢？假设某个我们坐标系下的给定的变化矩阵，有一个外星人在另一个坐标系，他的那个坐标系的两个基向量从我们的视角看分别是和我们需要推导在外形人视角下我们的变幻矩阵长什么样。假设外形人视角下的变化矩阵为.对外形人的坐标系中某个列向量 转换后等于
如果他要等效于我们坐标系下的变换 则要保证
其中表示向量在我们的坐标系下的坐标。
表示向量在我们的坐标系下的坐标经过矩阵变换后得到的坐标
则表示向量在我们的坐标系下的坐标经过矩阵变换后得到的坐标再翻译回外星人坐标系以后的坐标。 此时他应该等于
最终得到我们视角下的变换矩阵和外星人视角下的变幻矩阵满足
那么这种变换有什么用呢？举个很常见的例子。假如我们要计算某个矩阵的1000次方，即 .如果我们把他“翻译”到某个外星人坐标系下以后他的计算变得非常简单，那么我们在外星人的坐标系下算完以后再翻译回来将大大降低计算难度。
比如换到外星人的坐标系下以后得到的矩阵恰好是个对角矩阵。那么他的1000次方是非常好计算的。算完之后再翻译回来我们的坐标系就可以了。这个其实就是特征值分解的核心思想